Problema de Monty Hall: por que trocar de porta dá 2/3 de chance de ganhar

O enunciado

Há três portas: atrás de uma está um carro, atrás das outras duas, bodes. Você escolhe uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras duas e mostra um bode. Depois oferece: quer trocar para a porta fechada restante?

O problema foi proposto por Steve Selvin em cartas à revista The American Statistician em 1975 e ficou famoso em 1990, quando Marilyn vos Savant respondeu "troque" em sua coluna na revista Parade e recebeu muitas cartas discordando.

Por que trocar dá 2/3

Fixe a estratégia "escolho a porta 1 e sempre troco" e veja os três casos igualmente prováveis:

• Carro na porta 1: o apresentador abre 2 ou 3; trocar perde.
• Carro na porta 2: o apresentador é obrigado a abrir a 3; trocar ganha.
• Carro na porta 3: o apresentador é obrigado a abrir a 2; trocar ganha.

Trocar ganha em 2 de 3 casos. Intuição: sua primeira escolha acerta com 1/3; a abertura de uma porta com bode não muda isso, então o restante da probabilidade (2/3) fica concentrado na outra porta fechada.

Limites e ressalvas

A resposta 2/3 depende das hipóteses padrão: o apresentador sempre abre uma porta não escolhida, sempre revela um bode e sempre oferece a troca; o carro é colocado ao acaso; e, se você acertou de primeira, ele escolhe ao acaso qual bode mostrar. Com outras regras o resultado muda. Se o apresentador só oferecesse a troca quando você já está no carro, trocar sempre perderia; se ele tiver preferência por certas portas, a chance condicional de ganhar trocando pode variar entre 1/2 e 1. O enunciado popular de 1990 não deixava todas essas regras explícitas, o que alimentou parte da controvérsia.