Terceira lei de Kepler: o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semieixo maior

O enunciado

Para os planetas que orbitam o Sol, o quadrado do período orbital (T) é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita (a):

T² ∝ a³

Usando anos terrestres para T e unidades astronômicas (UA) para a, a constante vale aproximadamente 1 para o Sistema Solar, e a relação vira T² ≈ a³.

Exemplo

Júpiter tem semieixo maior de cerca de 5,2 UA. Então T ≈ 5,2^1,5 ≈ 11,9 anos, próximo do período observado de quase 12 anos. Isso permite estimar distâncias a partir de períodos (ou o contrário) sem conhecer detalhes da órbita.

Contexto histórico

Johannes Kepler descreveu as duas primeiras leis (órbitas elípticas com o Sol num foco e áreas iguais em tempos iguais) em Astronomia Nova. A terceira veio depois, a partir de sua busca por "harmonias" no sistema solar: segundo a American Physical Society, ele chegou a ela em maio de 1618 e a publicou em Harmonices Mundi, em 1619. Na época era uma regularidade empírica, sem explicação física.

Limites e ressalvas

• A forma T² = a³ (em anos e UA) só vale para corpos em torno do Sol e é uma aproximação: a mecânica newtoniana mostra que a constante depende da soma das massas dos dois corpos, o que gera pequenas diferenças para planetas grandes.
• Perturbações entre planetas e efeitos relativísticos fazem as órbitas reais se desviarem levemente de elipses perfeitas.
• Para outros sistemas (luas de Júpiter, exoplanetas), a proporcionalidade continua válida, mas com outra constante, que depende da massa do corpo central.